1  A Definition of Causal Effect

1.1 Individual causal effects

일반적으로 우리는 어떠한 행동 \(A\)가 이루어졌을 때의 결과와 그렇지 않을 때의 결과를 비교하여, 그 두 결과가 다를 경우 \(A\)가 결과에 대한 인과적 효과(causal effect)를 가진다고 말한다.

개개인에 대한 인과효과에 대한 형식적 정의는 다음과 같다: 처치 \(A\)는 \(Y^{a=1}\neq Y^{a=0}\)이라고 할 때, 개개인의 결과 \(Y\)에 대한 인과효과를 가진다.

  • 즉, \(A\)에 따라 결과가 변해야만 인과효과를 생각해볼 수 있음.

  • 이때, \(A\)의 유무에 따른 결과, \(Y^{a=1}\)와 \(Y^{a=0}\)는 잠재적 결과(potential outcomes)나 반사실적 결과(counterfactual outcomes)라고 함.

  • 개개인에 대한 잠재적 결과들 중 하나(\(Y^A\))는 사실 관측된 결과이다: \(A_i = a\)라고 할 때, \(Y^a_i = Y^A_i = Y_i\)라는 일관성을 갖게 된다.

  • 반면, 그 외의 개개인 수준의 잠재적 결과, \(A_i=0\)인 경우에는 우리는 그 결과를 관측할 수 없으므로 개별 효과는 식별될 수 없다.

  • 여기서의 가정은

    1. Stable-unit-treatment-value assumption (SUTVA): 처치 \(A\)에 대한 개개인의 잠재적 결과는 다른 개인의 잠재적 결과에 영향을 받지 않는다는 것이다.

    2. No multiple version of treatment assumption: \(A= a\)라는 단 한 가지 처치만 존재한다.

1.2 Average causal effects

인과효과는 비교할 수 있는 (1) 어떠한 행동(\(A\))의 유무와 그로 인한 (2) 결과(\(Y^{a}\))가 필요하다. 하지만 앞서 말했다시피 개별 수준에서 인과효과를 식별하는 것은 불가능하므로, 집합적 수준(aggregated level)에서의 인과효과에 주목한다.

  • 개개인들의 모집단에서 나타나는 평균적인 인과효과(average causal effect)를 일컫는다.

  • 앞서의 행동과 결과에 이어서 평균 인과효과를 정의하기 위해서는 비교할 결과가 어떤 개개인들로 구성된 모집단인지에 대한 정의가 필요하다.

  • 전체 모집단에 있어서 \(Y^{a=1}\)과 \(Y^{a=0}\)의 평균을 비교할 수 있다.

  • 결과에 대한 처치 \(A\)의 평균 인과효과는 \(\Pr[Y^{a=1}=1]\neq\Pr[y^{a = 0}=1]\)일 때 나타난다.

    • 모집단 수준에서는 \(\mathrm{E}[Y^{a=1}]\neq\mathrm{E}[y^{a = 0}]\)으로 나타낼 수 있다.

  • 평균 인과효과가 나타나지 않는다고 해서 개개인에 대한 효과도 존재하지 않는다는 것은 아니다.

    • 단, 개개인들 모두에게서 인과효과가 나타나지 않는다면, 평균 인과효과도 나타나지 않을 것이다.

1.3 Measures of causal effect

인과효과가 없다는 가설(causal null hypothesis)을 보여주는 세 가지 효과 측정지표(effect measures):

  1. Causal risk difference: \(\Pr[Y^{a=1}=1] - \Pr[Y^{a=0}=1]=0\)

  2. Causal risk ratio: \(\frac{\Pr[Y^{a=1}=1]}{\Pr[Y^{a=0}=0]}=1\)

  3. Odds ratio: \(\frac{\Pr[Y^{a=1}=1]/\Pr[Y^{a=1}=0]}{\Pr[Y^{a=0}=1]/\Pr[Y^{a=0}=0]}=1\)

1.4 Random variability

실제로 우리는 모집단의 매우 일부에 해당하는 표본에 대한 정보만을 수집할 수 있다.

  • 우리가 모집단에 속한 개개인들에 대해 정확하게 얻을 수 있는 정보는 \(a\) 라고 하는 처치를 받은 이들의 결과에 대한 비율뿐이며, 처치를 받지 않은 이들의 잠재적 결과에 대해서는 알 수 없다.

  • 따라서 우리는그 (모집단에서의) 확률(probability)을 추정할 수밖에 없다.

모집단으로부터 무작위 표본을 추출했다고 해보자.

  • 표본을 가지고 살펴본 처치를 받지 않았으나 죽은 이들의 비율은 다음과 같이 나타낼 수 있다: \(\widehat{\Pr}[Y^{a=0}] = 1\).

  • 문제는 이 표본의 결과값이 모집단에서의 결과인 \(\Pr[Y^{a=0}] = 1\) 와 정확하게 같을 수는 없다는 것이다.

  • 우리는 표본 비율인 \(\widehat{\Pr}[Y^{a=0}] = 1\) 를 사용하여 처치 \(a\) 일 때의 모집단에서의 확률 \(\Pr[Y^{a=0}] = 1\) 를 추정하게 된다.

    • 표본의 크기가 커질수록, 표본 비율과 모비율의 차이는 더 작아지게 된다.

    • 모집단과 표본에서의 차이는 표집 변동성(sampling variability)으로 인한 것일 수 있다.

  • 실질적으로 모집단에서의 비율을 얻을 수가 없기 때문에 표본에서의 비율을 가지고 인과 효과가 있다 없다를 확신할 수 없다.

    • 인과적으로 효과가 없다는 가설을 평가할 수 있을 뿐이다.

  • 표집 변동성 외에도 모집단 비율과 표본의 비율에 차이가 존재할 수 있다.

    • 표본 수준에서 처치에 대한 잠재적 결과가 확률로 나타날 경우이다.

    • 개개인에 대한 인과 효과는 정해진 관측값을 확인할 수 있지만, 이를 평균적인 수준에서 살펴보게 되면 개개인 간의 차이가 존재할 수 있다.

  • 인과추론에서 확률오차는 표집 변동성, 단정적이지 않은 반사실적 사실들, 또는 둘 모두로 인한 것일 수 있다.

1.5 Causation versus association

앞서도 언급했다시피 실제로는 우리는 잠재적 결과(처치된 경우와 처치받지 못한 경우) 중 한 가지의 결과만을 관측할 수 있다. 그래서 우리는 전체 모집단(혹은 우리가 가진 표본) 중에서 처치값(treatment value) \(a\) 를 받은 개개인들 간의 결과, \(Y\) 의 비율(결과가 이산형일 때) 또는 평균(결과가 연속형일 때)을 구해서 살펴보게 된다: \(\Pr[Y = 1|A = a]\).

  • 만약 처치를 받았을 때와 받지 않았을 때의 결과가 동일하다면, 처치 \(A\) 는 결과와 관계가 없는, 독립적이라고 할 수 있으며 이 경우에는 \(A \perp\!\!\!\perp Y\) 또는 \(Y \perp\!\!\!\perp A\) 라고 표현할 수 있다.
  • 처치를 받았을 때와 받지 않았을 때의 결과의 비율이 같지 않을 때, \(\Pr[Y = 1|A = 1]\neq \Pr[Y = 1|A = 0]\) , \(A\) 와 \(Y\) 는 서로 종속적(dependent)이라고 할 수 있다.

  • 인과관계(causation)의 정의는 전체 하얀색 다이아몬드(처치된 모든 개체)와 전체 회색 다이아몬드(처치되지 않은 모든 개체) 사이의 비교를 의미한다.

    • 인과관계는 같은 모집단에서 서로 다른 두 처치 상태(처치 받은 경우와 받지 않은 경우)에서 나타나는 서로 다른 위험도를 보여주는 것이다.

  • 연관성(association)은 원래 다이아몬드의 흰색(처리된 부분)과 회색(처리되지 않은 부분) 사이의 비교를 의미합니다.

    • 상관성은 처치를 받은 개인들과 받지 않은 개인들이라는 서로 독립적인 모집단의 서브셋에서 나타나는 위험도의 차이를 보여주는 것이다.

  • 인과관계에 대한 질문은 “What if”에 관한 것:”모든 사람들이 치료를 받는다면 위험도는 어떻게 될까?”