STATS101

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.title[
# STATS101
]
.subtitle[
## Diagnostics, Statistical Significance, and Confidence Intervals
]
.author[
### Sanghoon Park
]
.date[
### University of South Carolina
]

---

## Introduction

선형회귀모델은 강력한 가정들에 바탕을 둔다.

1. 선형성(linearity)

2. `$E(e_i) = 0$`

3. `$Var(e_i) = \sigma^2$` (등분산성)

4. `$Cov(e_i, e_j) = 0\:\:(\text{for } i\neq j)$`

5. `$x_i$`: 비확률변수이며 `$y_i$`와 규칙적으로 공변

위의 가정을 모두 충족했을 때, 가우스-마르코프 정리(Gaus-Markov Theorem)에 따라 우리는 회귀분석의 계수값을 다음과 같이 표현할 수 있다.

+ 모수 `$\beta$`의 선형불편추정량 중 OLS로 추정한 `$\hat \beta$`가 가장 작은 분산을 가지며 편향되지 않은, 효율적인 추정량이다.

+ `B`est `L`inear `U`nbiased `E`stimator: 최선의 선형 불편추정량(`BLUE`)

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## Introduction

+ 최소제곱(least squares)을 구하는 추정량은 데이터에 민감함.
  
+ 선형회귀모델을 분석하기 이전에, 우리에게는 두 가지 선택지가 주어진다.

1. 애초에 여러 가정을 요구하는 최소제곱추정법을 포기하거나
  
  2. 데이터에 대한 진단을 병행하여 최소제곱을 통한 추정이 가능한지를 살펴보는 것이다. 
  
> [회귀모델을 분석하는 것에는] 많은 문제들이 있을 것이라 예상할 수 있으며, 그 문제들은 회귀모델을 수립하기에 *앞서* 데이터에 대한 주의깊은 분석을 통해서 다루어질 수 있다 (Fox, 2016: 266).

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## Problems

+ 이탈치(Outliers)

+ 정규적으로 분포되어 있지 않은 오차(Non-normally distributed errors)

+ 일정하지 않은 분산(Non-constant variance)

+ 비선형성(Non-linearity)

+ 공선성(Collinearity)

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## Outliers

+ 설명변수(explanatory variable)에서 주어진 값이 이례적인(unusual) 관측값

+ 단변량(univariate) 이탈치와 이탈치 간의 차이

.panelset[
.panel[.panel-name[Univariate]
<img src="D3S8_files/figure-html/unnamed-chunk-1-1.png" style="display: block; margin: auto;" />
]
.panel[.panel-name[Bivariate]

]
]

---

## Influence

+ 이례적인 데이터는 선형 적합(line fit)에 영향을 미치기 때문에 최소제곱 접근법을 적용하는 데 문제가 될 수 있다.

+ `$\text{Influece} = \text{Leverage}\times\text{Discrepancy}$`

+ `$\text{Leverage} = \text{Far in}\: X \\ \text{Discrepancy} = \text{Far in}\: Y$`

+ 즉, 이탈치가 중요한 이유는 그 값 하나가 전체적인 경향성, 선형 관계에 영향을 줄 수 있기 때문이다.

+ 이때, 이탈치는 `$X$`값, `$Y$`값 각각에 따라서 선형관계에 영향을 줄 수 있다.

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## Influence

### Leverag

+ 흔히 `$h_i$`라는 지수를 통하여 `leverage`를 측정한다.

+ 개별 관측치가 `$X$`의 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 보여주는 것.

+ `$h_{i} = \frac{1}{n} + \frac{(X_i-\bar X)^2}{\sum^{n}_{j=1}(X_j-\bar{X})^2}$`

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## Influence

### Discrepancy

+ 높은 `leverage`를 가진 관측치-즉, `$X$`에 평균으로부터 유독 멀리 떨어진 관측치들은 작은 잔차를 갖는 경향이 있다.

+ `$V(E_i) = \sigma^2_\epsilon(1-h_i)$`

+ 표준화 잔차(Standardized residual): `$E_i = \frac{\sigma^2_\epsilon(1-h_i)}{S_E\sqrt{1-h_i}}$`

+ 스튜던트화 잔차: `$E_i^{*} = \frac{\sigma^2_\epsilon(1-h_i)}{S_{E(-i)}\sqrt{1-h_i}}$`

+ 스튜던트화 잔차 = 표준화 잔차 - `$i$`번째 관측치

+ 즉, 관측치를 하나씩 빼가면서 계산한 표준화 잔차가 스튜던트화 잔차.
  
  + 특정한 한 관측치가 아니라 `$1, \dots n$`의 관측치를 하나씩 제외하며  `$E^{*}_1,\dots E^{*}_n$`의 값을 비교
  
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## Influence

### Discrepancy

+ 이탈치의 식별(identification)을 마치 가설검정의 문제와 비슷하게 접근

+ 이탈치냐 아니냐를 다른 관측치들이랑 비교했을 때, 평균과의 거리가 유의미하게 차이를 보이는 어떠한 관측치를 이탈치로 "결정"

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## Influence

+ 이례적인 데이터는 선형 적합(line fit)에 영향을 미치기 때문에 최소제곱 접근법을 적용하는 데 문제가 될 수 있다.

+ `$\text{Influece} = \text{hat-value}\times\text{residuals}$`

+ 측정지표:

+ Cook's Distance
  
  + DFBETA & DFBETAS
  
  + DFITS
  
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## Influence

### Cook's D

$$
\frac{E^{'2}_{i}}{k+1}\times\frac{h_i}{1-h_i}
$$
---

## Influence

### Cook's D

$$
\text{residual}\times\text{leverage}
$$

---

## Influence

### Cook's D

$$
\frac{E^{'2}_{i}}{k+1}\times\frac{h_i}{1-h_i}
$$

1. 관측치를 하나씩 제거해본다.

2. 남은 ( `$n-1$` )개의 관측치들을 가지고 회귀모델을 재적합한다.

3. `$i$`번째 관측치가 제거되었을 때 적합된 값이 어떻게 바뀌는지 분석한다.

> Cook's distance는 문제가 될 것이라고 생각되는 관측치가 데이터셋에서 제거되었을 때, 평균적으로 얼마나 예측된 `$y$`의 값에 변화가 나타나는지를 보여주는 방법이다.

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## Outlier identification

이탈치를 식별하는 데에는 여러 가지 방법이 있다.

1. 시각화하여 탐색하는 방법

2. Bonferroni correction

3. Anscombe's insurance analogy

개인적으로는 현재 단계에서는 시각화를 통해 연구자의 가설을 반영하는 핵심적인 예측변수와 종속변수 간의 양변량 관계(bivariate relationship)를 살펴보는 것을 추천.

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## Non-normally distributed errors

> "최소제곱추정법의 *타당성*이 견고하다 할지라도, `$\cdots$` 최소제곱법의 효율성(efficiency)는 견고하지 않다 (Fox, 2016: 297).

만약 오차가 멀티모달(multimodal)한 분포를 갖는다면?

+ 어떠한 설명변수가 데이터를 몇 개의 그룹으로 나누는 값을 가질 수 있다는 것을 의미
  
  + 최소제곱추정법을 적용하기 위해서는 이런 변수들을 제외할 필요가 있다.
  
그러나 정규적으로 분포되어 있지 않은 오차를 탐색하기 위한 여러 검정 방법은 대개 단변량(univariate)한 관계를 가정하고 있다.

+ 대개 단위의 분위와 정규분포 간 스튜던트화 잔차의 표본 분포를 비교하는 분위비교플롯(quantile-comparison plot) 사용

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## Non-constant error variance

+ 일정한 오차 분산 = 등분산성(homoscedasticity)

+ 일정하지 않은 오차 분산 = 이분산성(heteroscadasticity)

오차의 분산은 다음과 같은 요인들로 인해 효율성, 타당성에 영향을 줌.

+ 표본 규모

+ 변동성의 정도

+ `$X$` 값의 조형(configuration)

+ 오차 분산과 `$X$` 간의 관계

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## Non-constant error variance

잔차플롯(residual plot)을 통해 일정하지 않은 오차 분산을 탐지

+ 스튜던트화 잔차와 예측값 간의 관계( `$\text{studentized residual} \sim \text{fitted values}$` )
  
  + 절대값을 취한 스튜선드화 잔차와 예측값 간의 관계( `$\text{absolute studentized residual} \sim \text{fitted values}$` )
  
  + 가장 큰 오차 분산이 가장 작은 오차 분산에 비해 10배 이상 클 경우에만 심각하다고 간주(보수적으로 볼 경우는 4배)
  
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## Non-linearity

+ 비선형성: `$Y$`와 `$X$`들 간의 패턴

+ 가우스-마르코프 가정에 따라 선형회귀모델은 선형관계에 대한 가정에 바탕을 두고 있다.

+ 만약 두 변수의 관계가 선형이 아님에도 최소제곱법을 통한 추정을 할 경우, 그 결과가 가장 효율적인 결과라고 보기는 어려울 것이다.
  
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## Collinearity

+ 공선성:

+ 다른 문제들에 비해서는 상대적으로 심각하게 여겨지지 않음.
  
  + 공선성을 해결하기 위해 취하는 조치들이 때로는 공선성보다 더 심각한 문제를 야기할 수 있음.
  
  + 공선성의 문제를 해결하기 위한 조치들의 실질적 함의가 명확하지 않음.
  
--

+ `$X$`들 간의 완벽한 선형 관계가 존재할 경우

+ 굳이 여러 개의 `$X$`를 쓸 필요가 없다. 
  
  + 왜냐하면 각 `$X$`가 독립적으로 회귀분석에 포함된다고 할 때, 모두 `$Y$`에 대해 동일한 설명력을 가질 것이기 때문.
  
---

## Collinearity

+ `$X$`들 간의 완벽하지는 않지만 높은 수준의 선형관계가 존재할 경우

+ 회귀계수 `$\beta_j$`의 표집분산은 다음과 같다.: `$V(\beta_j) = \frac{1}{1-R^2_j}\times\frac{\sigma^2_\epsilon}{(n-1)S^2_j}$`
  
  + Fox (2016: 342)의 Figure 13.1을 보면, " `$R_j$`가 0.9에 도달하지 않는 이상, 추정의 정확성은 훼손되지 않는다"라고 언급.
  
---
  
## Solutions

### Outliers/non-normally distributed errors

+ 변수를 변환해주는 것 (e.g., Box-Cox, Box-Tidwell)

+ 변수에 제곱 혹은 제곱근을 취해주는 것 (e.g., log transformation)

### Non-constant variance

+ 가중치를 부여한 최소제곱 접근법(Weighted-Least-Squares)

+ 더 작은 분산을 가진 관측치에 더 큰 가중치를 부여함으로써, 일정하지 않은 분산에 대한 표준오차를 조정, 가중치를 부여한 제곱합을 최소화시키는 방법.
  
+ Huber-White robust standard errors

+ 공분산행렬의 대각행렬에 제곱근을 취하는 방법
  
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## Solutions
### Collinearity

+ 변수의 정보를 합쳐서 새로운 변수로 만들어 보는 것

+ 변수의 수를 줄이기
  
  + `$X$` 변수들의 독립성을 제고하기
  
+ 혹은 모델을 다시 구성하는 것, 변수들을 다시 선정해보는 것, 편향된 값을 가정한 추정법(e.g., ridge regression)을 사용해보는 것 등의 방법이 있다.

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## Hypothesis testing

+ `BLUE`?

+ 표집분포란?

+ 모델에 포함시켜서는 안 될, 부적절한 변수들을 포함시켰을 때 생기는 문제는?

+ 모델에 포함시켜야할, 적절한 변수를 누락시켰을 때 생기는 문제는?

+ `$y = \beta_0 + \beta_1x + \beta_2z + \beta_3xz$`를 해석해보라.

+ `$y = \beta_0 + \beta_1I(x=1) + \beta_2I(x=2), \text{with}\: x\in\{0, 1, 2\}$`를 해석해보라.

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## Hypothesis testing

### Variables with similar means and variances

```
## `stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.
## `stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.
## `stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.
```

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## More structure needed

### Classic Linear Model

+ 가우스 마르코프의 다섯 가지 가정과 `$Var(u) \sim N(0, \sigma^2)$`.

+ `$E(\hat \beta_k) = \beta_k$`. 
  
  + `$Var(\hat \beta_k)$`는 어떤 주어진 값이 될 것
  
  + 이때, 만약 `$\hat \beta_k \sim N\Big(\beta_k, Var(\hat \beta_k)\Big)$`라고 하면 과연 무엇이 달라질까?

---

## Let's look more closely

$$
\hat \beta_k \sim N\Big(\beta_k, Var(\hat \beta_k)\Big)
$$

+ 우리가 알 수 있는 것

+ `$x \sim N(\mu, \tau^2): \frac{1}{2\sqrt{\tau^2\pi}}\mathrm{exp}\Big[-\frac{(x-\mu)^2}{2\tau^2} \Big]$`에 대한 밀도
  
  + `$\hat \beta_k$`
  
  + `$Var(\hat \beta_k)$`
  
+ 우리가 알 수 없는 것

+ `$\beta_k$`
  
+ 만약 우리가 `$\beta_k$`에 대해서 가정을 세우고 데이터가 그 가정에 위배되는지 아닌지를 확인할 수 있다면?

---

## Null Hypothesis Significance Testing

+ 어떤 값 `$\beta_k$`가 사실이라고 가정하고 이를 `$w$`라 하자.

+ `$\beta_k = w$`라는 가정 하에서, 우리는 얼마나 관측가능한 `$\hat \beta_k$`의 분포가 그 값, `$w$`를 포함할 것인지 살펴볼 수 있다.

+ `$\beta_k = w$`라고 가정했을 때, 더 이상 우리가 모르는 값은 없다.

+ Student `t` 분포는 `$(n-k-1)$`의 자유도를 갖는다. 하지만 관측치가 많을수록, 이는 Gaussian으로(정규분포로) 수렴한다.: `$\frac{\hat \beta_k - \beta_k}{se(\hat\beta_k)}\sim t_{n-k-1}$`

---
## Null Hypothesis Significance Testing
### Procedure

+ 여기서 우리의 영가설은 다음과 같다: `$H_0 : \beta_k = w$`

+ 따라서, `t` 값은 `$\frac{\hat\beta_k - w}{se(\hat{\beta_k}-w)}\sim t_{n-k-1}$`이 된다.

+ 여기서 질문: 얼마나 `$\hat \beta_k$`가 `$w$`로부터 멀리 떨어져 있어야 우리가 `$\beta_k$`에 대한 연구가설 혹은 영가설을 기각할 수 있을까?

---

## Null Hypothesis Significance Testing
### Procedure

+ 만약 연구가설을 다음과 같이 설정했다고 하자: `$H_1: \beta_k > w$`

+ 이때 유의수준을 특정해보자.
  
  + "영가설이 실은 사실이라면 모집단에서 추출한 100개의 표본 중 몇 번이나 우리가 영가설의 값을 얻어야 영가설을 기각할 수 있을까?" 이 100개 중 몇 번: `$\alpha$`를 유의수준이라고 함.
  
  + `$\alpha$`가 클수록, `$\hat \beta_k$`가 영가설을 기각할 가능성이 더 커짐.
  
    + 당연하다: 100번 중 50번으로 널럴하게 검정하는 것 vs. 100번 중 5번으로 엄격하게 검정하는 것에는 당연히 차이가 있을 것.
    
---

## Null Hypothesis Significance Testing
### Procedure

.panelset[
.panel[.panel-name[H1: beta_k > 0, large df]

]

.panel[.panel-name[H1: beta_k < 0, large df]

]
]

---

## Null Hypothesis Significance Testing
### Procedure

+ `t` 검정통계량이 결정값(critical value)보다 클 때 영가설을 기각할 수 있다는 것을 떠올려보자.

+ 그렇다면 결정값은 어떻게 구할 수 있을까?

+ `$\alpha$`나 `$(1-\alpha)$`를 Student `t`나 정규분포의 누적밀도함수에 집어넣어보면 된다. 
  
  + In R: `qt()`, `qnorm()`
  
---

## Practice: t-test
### Exhaust emissions test for vehicles

많은 사업들의 성패는 소비자들 사이에서 얼마나 좋은 이미지를 갖는냐가 좌우한다고 해도 과언이 아니다. 그래서 많은 회사들은 제품의 품질 관리에 심혈을 기울이고 있다.

+ 예를 들어, 00자동차의 경우, 생산된 자동차에 친환경 이미지를 부여하기 위하여 자사의 평균 자동차 배기가스의 이산화탄소 함유량이 20 ppm (parts per milloion) 이하로 나오도록 관리하고 싶어한다.

+ 품질관리 부서에서는 10대의 신형 엔진을 탑재한 자동차를 무작위로 선택하여 배기가스 이산화탄소 함유량을 측정하여 다음과 같은자료를 얻었다.

```
##  [1] 15.6 16.2 22.5 20.5 16.4 19.4 16.6 17.9 12.7 13.9
```

00자동차는 신형 엔진이 자사의 품질관리 기준을 만족한다고 판단할 수 있을까? 유의수준 1% 하에서 통계적검정을 수행하라.

---
## Practice: t-test
### Exhaust emissions test for vehicles

#### 영가설과 대안가설을 수립하라.

+ 영가설: 00사의 평균 자동차 배기가스의 이산화탄소 함유량은 20 ppm (parts per milloion) 보다 크거나 같을 것이다.

+ 대안가설: 00사의 평균 자동차 배기가스의 이산화탄소 함유량은 20 ppm (parts per milloion) 보다 작을 것이다.

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## Practice: t-test
### Exhaust emissions test for vehicles

#### 유의수준에 따른 기각역을 계산하라.

+ 유의수준 1%, 즉 0.01에 따른 기각역을 계산해보자.

```r
# 관측치의 개수
n <- length(c(15.6, 16.2, 22.5, 20.5, 16.4, 
        19.4, 16.6, 17.9, 12.7, 13.9))
# 가설 선택의 기준: 1%
alpha <- 0.01
# t분포에서 2.82를 기준으로 기각 여부를 알 수 있다.
qt(df = n-1, 1 - alpha) 
```

```
## [1] 2.821438
```

```r
# 다시 t분포의 확률로 보면 2.82가 99%를 가르는 기준임을 알 수 있다.
pt(qt(df = n-1, 1 - alpha), df = n-1)
```

```
## [1] 0.99
```

---

## Practice: t-test
### Exhaust emissions test for vehicles
#### t-검정 통계량를 계산하라.

```r
mean <- mean(c(15.6, 16.2, 22.5, 20.5, 16.4, 
          19.4, 16.6, 17.9, 12.7, 13.9))
null <- 20

t.value <- (mean - null)/
  (sd(c(15.6, 16.2, 22.5, 20.5, 16.4, 
        19.4, 16.6, 17.9, 12.7, 13.9))/sqrt(n))
t.value
```

```
## [1] -3.00165
```

---

## Practice: t-test
### Exhaust emissions test for vehicles

#### 검정 통계량과 기각역을 사용하여 통계적 검정을 수행하라.

+ 여기서 00사는 20 ppm 보다 "작은" 수치를 가지는 것을 기대한다.

+ 따라서 `t.value = -3`이라는 결과는 00사의 자동차 배기가스 평균값에서 기대하는 수치인 20 ppm을 빼주었을 때의 차이가 00사의 자동차 배기가스 값들이 우연히 표본에 뽑혔을 불확실성에 비하여 약 3배 이상 더 크며, -값이므로 00사의 자동차 배기가스 값의 평균이 20 ppm보다 더 작다는 것을 의미한다.

+ 앞서 기각 기준이 2.82 였으므로, 음의 방향으로 -2.82보다 더 큰 -3은 00사의 차량 배기가스 배출량이 평균적으로 20 ppm 보다 크거나 같을 것이라는 영가설을 기각하기에 충분하다.

+ 즉, 우리는 00사의 차량 배기가스 배출량이 평균적으로 20 ppm 보다 작을 것이라고 주장할만한 경험적 근거를 가진다.

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## What is next?

+ 영가설을 기각했다고 하자. 그렇다면 그 결과가 나의 연구가설에 대해서 무엇을 말해주는가?

### Mister p

사실 영가설을 기각하는 접근법은 어딘가 좀 이상하다.

+ 왜 우리는 사전에 설정한 `$\alpha$` 값을 받아들이고, 이를 통해 통계적 유의성을 칼로 베듯이 결정하는가?
  
  + `$p$`-값: 주어진 `t` 검정통계량에 대해서 연구자가 선택할 수 있는 가장 작은 `$\alpha$`를 가지고 영가설을 기각할 수 있게 해주는 값.
  
### Two-sided alternatives

+ `$H_0: \beta_k = 0,\: H_1: \beta_k \neq 0$`.

+ `$\alpha$`를 설정한다. 따라서 `$|t|>c$`일 때 영가설은 기각된다.

---

## Null need not be 0

### Other hypothesis

+ `$H_0: \beta_k = g,\: H_1: \beta_k > g$`.

+ `$\alpha$`를 설정한다. `$t = \frac{\hat \beta_k-g}{se(\hat \beta_k)}$`, 따라서 `$|t| >c$`일 때 영가설은 기각된다.

### General `t` stat

$$
t = \frac{\text{estimate - hypothesized value}}{\text{standard error of estimate}}
$$

---

## Think about Interaction

### Interactions

+ `$y = \beta_0 + \beta_1 + \beta_2z + \beta_3xz$`.

+ 여기서 가설은 무엇일까? 지난 상호작용 파트를 떠올려보자.

---

## More generally

### General `t` stat

+ 상호작용에서는 `$\beta_1, \beta_2, \beta_3$` 그 자체에는 신경쓰지 않는다.

+ `$x$`의 한계효과에 대한 가설을 제시한다.

$$
\partial y / \partial x = \beta_1 + \beta_3z
$$

+ 이때, 영가설은 `$H_0: \partial y / \partial x = 0$`

+ 따라서 `$t = \frac{(\hat \beta_1 + \hat \beta_3 z) - 0}{se(\hat \beta_1 + \hat \beta_3 z)}$`.

---

## Interaction and testing

+ 그렇다면 `$se (\hat \beta_1 + \hat \beta_3z)$`는 어떻게 구할까?

+ Wooldridge (2012: 740) 참고.

+ 힌트: `$X$`와 `$Y$`가 확률변수이고 `$a$`, `$b$`가 상수일때,

+ `$Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y) + 2abCov(X, Y)$`.
  
  + 상호작용의 표준오차는 위와 같은 공식을 이용해서 구할 수 있다.
  
---

## Confidence intervals

### Over repeated samples

+ `$\alpha$`란 무엇인가?

+ `$\alpha$`란 단순한 분포의 꼬리 부분에 해당하는 확률이다.
  
  + 신뢰구간은 우리가 일반적으로 모집단의 모수가 그 안에 속할 것이라고 기대되는 구간이다.
  
  + "표집을 반복했을 때, 95% 신뢰구간은 100번 중 95번 모수, `$\beta_k$`를 포함할 것이다."
  
---

## Confidence intervals

### Constructing confidence intervals

#### From the sampling distribution

+ 우리는 `$\frac{\hat \beta_k - \beta_k}{se(\hat \beta_k)} \sim N(0, 1)$`이라는 것을 안다.

+ 이때, 밀도의 95%에 해당하는 분위는?

+ 2.5번째와 97.5번째 분위: 평균 `$\pm 1.96\:SD$`.
  
--
  
#### CIs

+ 95% 신뢰구간은 `$[\hat \beta_k \pm 1.96\times se(\hat \beta_k)]$`.

+ 99% 신뢰구간은 `$[\hat \beta_k \pm 2.58\times se(\hat \beta_k)]$`.

---
class: center, middle
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# Thanks!

## Please do not hesitate to ask questions.

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| Contact         |     Sanghoon Park              |
| :-------------: | :----------------------------: | 
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